保護者の申請のみでアレルギー除去食を提供してもよいでしょうか。

原則、生活管理指導表(医師の指示書)により申請するようになっています。アレルギー対応の給食の実施に当たり、その判断を保護者にゆだねることがないようにしてください。
「体調不良、食物アレルギー、障害のある子どもなど、一人一人の子どもの心身の状態等に応じ、嘱託医、かかりつけ医等の指示や協力の下に適切に対応すること。栄養士が配置されている場合は、専門性を生かした対応を図ること。」
「保育所におけるアレルギー対応ガイドライン2019年改訂版(H31.4)」

特定教育・保育施設指導監査Q&A【福島市第3版】